“从低维空间到高维空间”

——复旦大学李颖洲教授为二附中学子做专题讲座

在3月19日晚上的复旦大学博学计划中,来自复旦大学数学科学学院的青年研究员、博士生导师李颖洲教授,为高一学生带来了主题为“从低维空间到高维空间”的一场数学盛宴。

李教授从我们生活中能够接触到的维度开始,通过指出三维空间中球在立方体中的体积占比小于二维空间中圆在正方形中的面积占比,引导同学们想到在维数足够大的情况下高维球在高维立方体中的体积占比应该趋向于零。接着,李教授又从概率的角度,

用Matlab技术对刚刚猜想的结论进行了考察与证实。李教授又从古人求得圆周率的割圆术开始,将其用积分的方法推广至高维球的“割球术”,得到了高维球分别在维数为奇数与偶数情况下各自的体积公式,并由此得到了高维单位球的体积趋于零的结论,也从另一个角度对先前的推论进行再次证明,令同学们惊叹连连。

    通过对于球壳和赤道面附近圆柱体体积的计算,李教授又给出了高维球体积既集中在球壳,又集中在赤道面这一看似矛盾的结论,也引发了同学们对于低维结论能否直接应用至高维的思考。李教授又以同学们熟悉的数学概念——向量为例,通过应用数学中期望值的概念,证明了在维数趋近于无穷的情况下两个随机的高维向量趋于互相垂直。

    最后,李教授又回到其自身的研究领域,通过讲解与“降维”有关的Johnson-Lindenstrauss引理,说明了在当今时代人际高维网络的场景中,将个人高维的数据进行压缩并尽可能保证较小损失的可行性。

    “今天的讲座之后,我希望大家能记住一点,很多时候高维情景下的一些结论会与我们日常生活中接触到的低维性质是不同的。”李教授最后用这个结论为当晚的课程收尾,并一一回答了同学们对于当晚讲座数学内容的疑问,为本次讲座画上了圆满的句号。

【供稿:高一(10)班 丛子扬;审稿:唐晓鹏】

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